Мне присудили деньги в городском районном суде. Кому и как передавать деньги после получения решения суда? Как это делается??

Это можно сделать любым способом, подтверждающим факт исполнения судебного решения.

Если у адвоката есть доверенность на получение от должника денег по решению суда, то можно и через адвоката, под расписку, только не забудьте взять себе копию доверенности.

Можно и через судебных приставов. Можно и почтовым переводом, с указанием того, что это перевод денежных средств по решению суда...