Если работник заболел после увольнения, работодатель обязан оплатить больничный.

Да, в этом случае Вы обязаны произвести оплату  больничного листа, если бывший работник не был более трудоустроен и это может быть подтверждено предъявлением с его стороны трудовой книжки.

В соответствии с ч.1 ст.12 № 255-ФЗ от 29 декабря 2006 г. срок предоставления  больничного установлен 6 мес. с момента окончания больничного листа.

Начисление по нему делается в течение 10 дней после подачи, а выплата в ближайшую зарплату.

В свою очередь п.3 ст. 13 вышеупомянутого закона предусматривает, что работнику, утратившему трудоспособность в течение 30 дней со дня увольнения выплачивается по его последнему месту работы.

Дополнительно отметим, что в этом случае размер пособия по временной нетрудоспособности определяется не страховым стажем работника, а в установленном размере - 60 процентов среднего заработка.

Учитывая, что больничный лист прислан Вам письмом, рекомендуем  также письменно официально дать ответ бывшему работнику  об исполнении Вами его законного требования.